核心思想

方差互换 (Variance Swap) 允许投资者直接交易标的资产的真实方差，无需假设特定模型（无模型波动率）。卖方收到固定方差，买方支付固定方差并获取实现方差。

$\text{Payoff} = N_{\text{var}} \cdot (RV - K_{\text{var}})$

其中 $N_{\text{var}}$ 为方差名义金额，$RV$ 为实际已实现方差，$K_{\text{var}}$ 为约定方差 Strike。

无模型波动率合成公式

Carr & Lee (2009) 证明了方差互换的 strike 可以由整个期权链合成：

$K_{\text{var}} = \frac{2}{T} \left[ \int_0^{F} \frac{1}{K^2} \text{Put}(K) dK + \int_{F}^{\infty} \frac{1}{K^2} \text{Call}(K) dK \right]$

即通过全期权链（puts + calls）的加权积分来合成方差。

动态对冲框架

class VarianceSwap:
    def __init__(self, S0, K_var, notional):
        self.S = S0  # 标的价格随时间变化
        self.K_var = K_var
        self.notionall = notional
        self.realized_variance = 0.0
        self.hedge_ratio = 0.0
        
    def update_realized_variance(self, r_t, dt):
        """更新已实现方差（对数收益）"""
        self.realized_variance += (r_t ** 2) * (252 / dt)
        
    def compute_delta_hedge(self, sigma, T_remaining):
        """Delta 对冲：持有 -2 * N_var / S 的标的"""
        # Vega hedge: 通过期权链调整
        # Delta hedge: 动态调整标的仓位
        return -2 * self.notionall / self.S
        
    def calculate_pnl(self):
        """计算 P&L"""
        return self.notionall * (self.realized_variance - self.K_var)

与 VRP 的关系

方差互换是 VRP 策略的理论延伸：做空方差互换 = 收取无模型波动率。实际操作中，个人投资者通过做空虚值期权组合来近似方差互换的收益特征。

局限

• 需要完整期权链，流动性要求高
• Delta 对冲频率影响实现方差
• 跳变（jump）破坏连续对冲假设

参考文献

1. Carr, P. & Lee, R., 2009. “Robust Replication of Volatility Derivatives.”
2. Demeterfi, K., Derman, E., Kamal, M. & Zou, J., 1999. “A Guide to Volatility and Variance Swaps.” Journal of Derivatives.