核心思想

GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) 模型对时间序列的条件方差建立自回归结构，捕捉金融收益率的波动率聚类（volatility clustering）效应。

$\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{p} \alpha_i \varepsilon_{t-i}^2 + \sum_{j=1}^{q} \beta_j \sigma_{t-j}^2$

其中 $\varepsilon_t = \sigma_t \cdot z_t$ 为 innovations，$z_t \sim i.i.d.(0,1)$。

模型族详解

GARCH(p, q) — Bollerslev (1986)

标准形式，条件方差由过去的残差平方（冲击）和过去的条件方差组成：

$\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2$

GARCH(1,1) 是最常用的形式。参数约束：$\omega > 0$, $\alpha \ge 0$, $\beta \ge 0$, $\alpha + \beta < 1$（平稳性条件）。

波动率均值回归速度由 $\alpha + \beta$ 决定：越接近 1，冲击衰减越慢，波动持续性越强。

EGARCH — Nelson (1991)

对数条件方差模型，天然保证正性且允许杠杆效应（负冲击比同等幅度的正冲击产生更大的未来波动）：

$\ln(\sigma_t^2) = \omega + \alpha \left|\frac{\varepsilon_{t-1}}{\sigma_{t-1}}\right| + \gamma \frac{\varepsilon_{t-1}}{\sigma_{t-1}} + \beta \ln(\sigma_{t-1}^2)$

其中 $\gamma < 0$ 表示杠杆效应（坏消息 > 好消息的影响）。

GJR-GARCH — Glosten, Jagannathan & Runkle (1993)

通过指示变量区分正负冲击的影响：

$\sigma_t^2 = \omega + \alpha \varepsilon_{t-1}^2 + I(\varepsilon_{t-1} < 0) \cdot \lambda \varepsilon_{t-1}^2 + \beta \sigma_{t-1}^2$

其中 $I(\cdot)$ 为指示函数，$\lambda$ 捕捉非对称杠杆效应。

Python 实现

import numpy as np
from arch import arch_model
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

def fit_garch(returns, order=(1, 0, 0), vol_order=(1, 1), dist='norm'):
    """拟合 GARCH 模型并返回诊断信息"""
    
    # ARIMA 部分：提取残差（处理均值方程）
    arima = ARIMA(returns, order=order)
    arima_result = arima.fit()
    residuals = arima_result.resid
    
    # GARCH 部分
    model = arch_model(residuals, vol='Garch', p=order[0], q=vol_order[1],
                        dist='skewt')  # t分布或学生t分布通常更适合金融数据
    result = model.fit(disp='off')
    
    return {
        'params': result.params,
        'alpha': result.params['omega'] if 'omega' in result.params else None,
        'sum_params': result.params['alpha[1]'] + result.params['beta[1]'],
        'AIC': result.aic,
        'BIC': result.bic,
        'residual_diagnostic': result.diagnostic()
    }

def simulate_garch(params, n=1000):
    """从 GARCH(1,1) 参数模拟波动率路径"""
    omega, alpha, beta = params
    sigma2 = np.zeros(n)
    epsilon = np.random.randn(n)
    
    sigma2[0] = omega / (1 - alpha - beta)  # 稳态方差
    
    for t in range(1, n):
        sigma2[t] = omega + alpha * epsilon[t-1]**2 * sigma2[t-1] + beta * sigma2[t-1]
    
    returns = epsilon * np.sqrt(sigma2)
    return pd.Series(returns), pd.Series(np.sqrt(sigma2))

# 波动率预测
def garch_forecast(result, steps=10):
    """GARCH 波动率预测"""
    forecast = result.forecast(steps=steps)
    return {
        'volatility_path': np.sqrt(forecast.var.iloc[:, 0].values),
        'ci_lower': np.sqrt(forecast.var.quantile(0.025, axis=1).values),
        'ci_upper': np.sqrt(forecast.var.quantile(0.975, axis=1).values),
    }

数据需求

优势与局限

✅ 优势

• 拟合金融数据波动率聚类效果极佳
• 可预测未来波动率（用于 VaR、期权定价）
• 族模型丰富，可根据数据特征选择

⚠️ 局限

• 均值方程与波动率方程可能同时误设
• GARCH(1,1) 在极端数据下可能需要更高阶
• 无法直接处理跳跃（jump）和结构性断点

变体

参考文献

1. Bollerslev, T., 1986. “Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.” Journal of Econometrics.
2. Nelson, D.B., 1991. “Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach.” Econometrica.
3. Glosten, L., Jagannathan, R. & Runkle, D., 1993. “On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks.” Journal of Finance.